Capitolo 3Serie di Fourier
Ecco l'affermazione che rende tutto questo utile: qualsiasi forma ripetitiva — anche una con uno spigolo netto, come un'onda quadra — può essere costruita puramente a partire da onde sinusoidali morbide. Guardalo accadere.
Forma obiettivo
Approssimazione di Fourier
Cosa si sta sommando in questo momento:
Le formule
Ogni forma obiettivo ha la propria ricetta di armoniche — una frequenza fondamentale $f$ più una serie specifica di suoi multipli, ciascuno con un'ampiezza prescritta:
Onda quadra (solo armoniche dispari)
$$ s(t) = \frac{4}{\pi}\sum_{k=1,3,5,\dots} \frac{1}{k}\sin(2\pi k f t) $$
Onda a dente di sega (tutte le armoniche)
$$ s(t) = \frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k}\sin(2\pi k f t) $$
Onda triangolare (armoniche dispari, decadimento quadratico)
$$ s(t) = \frac{8}{\pi^2}\sum_{k=1,3,5,\dots} \frac{(-1)^{(k-1)/2}}{k^2}\sin(2\pi k f t) $$
Cosa notare
- N = 1 è solo una semplice onda sinusoidale — un'approssimazione grezza della forma.
- Ogni armonica aggiunta affina uno spigolo o appiattisce una curva un po' di più. Nota che le ampiezze dell'onda triangolare si riducono come $1/k^2$ — le sue armoniche svaniscono in fretta, quindi converge rapidamente verso una forma pulita. Le ampiezze dell'onda quadra si riducono solo come $1/k$ — molto più lentamente — quindi servono molte più armoniche perché appaia nitida.
- Le ondulazioni vicino agli spigoli non scompaiono mai del tutto, anche con N = 30 per l'onda quadra. Quel superamento persistente del ~9% si chiama fenomeno di Gibbs — un limite matematico reale, non un bug di questa demo.
Ognuna di queste armoniche, singolarmente, è esattamente l'onda sinusoidale del Capitolo 1 — solo con una frequenza, un'ampiezza e (tramite il segno) una fase diverse. Una serie di Fourier non è altro che il trucco della somma del Capitolo 2, fatto con una lista di invitati molto specifica di onde.