Capítulo 3Series de Fourier
Aquí está la afirmación que hace útil todo esto: cualquier forma repetitiva — incluso una con una esquina filosa, como una onda cuadrada — puede construirse puramente a partir de ondas seno suaves. Míralo suceder.
Forma objetivo
Aproximación de Fourier
Lo que realmente se está sumando ahora mismo:
Las fórmulas
Cada forma objetivo tiene su propia receta de armónicos — una frecuencia fundamental $f$ más una serie específica de múltiplos de ella, cada uno con una amplitud determinada:
Onda cuadrada (solo armónicos impares)
$$ s(t) = \frac{4}{\pi}\sum_{k=1,3,5,\dots} \frac{1}{k}\sin(2\pi k f t) $$
Onda diente de sierra (todos los armónicos)
$$ s(t) = \frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k}\sin(2\pi k f t) $$
Onda triangular (armónicos impares, decaimiento cuadrático)
$$ s(t) = \frac{8}{\pi^2}\sum_{k=1,3,5,\dots} \frac{(-1)^{(k-1)/2}}{k^2}\sin(2\pi k f t) $$
Qué notar
- N = 1 es solo una onda seno simple — una aproximación tosca a la forma.
- Cada armónico agregado afina una esquina o aplana una curva un poco más. Nota que las amplitudes de la onda triangular se reducen como $1/k^2$ — sus armónicos se desvanecen rápido, por lo que converge a una forma limpia rápidamente. Las amplitudes de la onda cuadrada solo se reducen como $1/k$ — mucho más lento — así que necesita muchos más armónicos para verse afilada.
- Las ondulaciones cerca de las esquinas nunca desaparecen del todo, incluso con N = 30 en la onda cuadrada. Ese sobrepaso persistente de ~9% se llama el fenómeno de Gibbs — un límite matemático real, no un error de esta demostración.
Cada uno de estos armónicos, individualmente, es exactamente la onda seno del Capítulo 1 — solo con una frecuencia, amplitud y (mediante el signo) fase diferentes. Una serie de Fourier no es más que el truco de suma del Capítulo 2, hecho con una lista de invitados muy específica de ondas.