Rozdział 3Szeregi Fouriera
Oto twierdzenie, które czyni to wszystko użytecznym: każdy powtarzający się kształt — nawet ten z ostrym narożnikiem, jak fala prostokątna — może zostać zbudowany wyłącznie z gładkich fal sinusoidalnych. Zobacz, jak to się dzieje.
Kształt docelowy
Przybliżenie Fouriera
Co jest właśnie teraz sumowane:
Wzory
Każdy kształt docelowy ma własną recepturę harmonicznych — częstotliwość podstawową $f$ plus określony szereg jej wielokrotności, każda z ustaloną amplitudą:
Fala prostokątna (tylko nieparzyste harmoniczne)
$$ s(t) = \frac{4}{\pi}\sum_{k=1,3,5,\dots} \frac{1}{k}\sin(2\pi k f t) $$
Fala piłokształtna (wszystkie harmoniczne)
$$ s(t) = \frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k}\sin(2\pi k f t) $$
Fala trójkątna (nieparzyste harmoniczne, zanik kwadratowy)
$$ s(t) = \frac{8}{\pi^2}\sum_{k=1,3,5,\dots} \frac{(-1)^{(k-1)/2}}{k^2}\sin(2\pi k f t) $$
Co warto zauważyć
- N = 1 to po prostu zwykła fala sinusoidalna — zgrubne przybliżenie kształtu.
- Każda dodana harmoniczna trochę wyostrza narożnik lub spłaszcza krzywą. Zauważ, że amplitudy fali trójkątnej maleją jak $1/k^2$ — jej harmoniczne szybko zanikają, więc szybko zbiega do czystego kształtu. Amplitudy fali prostokątnej maleją tylko jak $1/k$ — znacznie wolniej — więc potrzeba znacznie więcej harmonicznych, by wyglądała ostro.
- Fale w pobliżu narożników nigdy całkowicie nie znikają, nawet przy N = 30 dla fali prostokątnej. To trwałe przekroczenie o ~9% nazywa się zjawiskiem Gibbsa — to prawdziwe ograniczenie matematyczne, nie błąd tego demo.
Każda z tych harmonicznych, z osobna, to dokładnie fala sinusoidalna z Rozdziału 1 — tylko z inną częstotliwością, amplitudą i (poprzez znak) fazą. Szereg Fouriera to nic więcej niż trik sumowania z Rozdziału 2, wykonany z bardzo konkretną listą gości spośród fal.